플로이드 워셜 알고리즘

 

🚩플로이드 워셜

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
• 음의 가중치를 가지는 간선(엣지) 가능
• 합이 음수 가중치를 가지는 사이클이 있어서는 안됨
• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
  a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사
• 노드의 개수 N일 때, 시간 복잡도는 O(N^3) 이므로 노드의 개수가 500개 이하일 때 사용

 

🚩플로이드 워셜 이해

중간에 k 하나를 거쳐가는 게 왜 최단 경로를 구할 수 있는지 이해가 안 됐다.

a -> k -> b 의 경로에서 a -> k 의 경로 또한 최단 경로로 최적화 되어 있을 것이니 중간 경로 k 하나만 추가 되어 보이지만 결국 a -> k도  a -> x -> k 처럼 최단 경로로 이루어져 있을 수 있을 것이다.
점차 최적화 되어가는 경로 비용 테이블이라고 이해했다.

 

아래 정리를 보자.

 

 

🚩코드 구현

INF = int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수 입력
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # a에서 b로 가는 비용은 c
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c
    
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
            
# 수행된 결과 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        
        # 도달할 수 없는 경우 무한 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end="")
        
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end="")
    
    print()

 

 

 

 

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+참고

https://ppusda.tistory.com/99

플로이드 워셜 (Floyd-Warshall) (with. 백준 11404)